Математика примеры решения задач Интегралы

Математика примеры решения задач

Вычислить несобственный интеграл

Дифференциальные уравнения (ДУ)
Степенные ряды
Неопределенный интеграл
Несобственный интеграл 1-го рода
Исследовать сходимость интеграла
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Вычисление площадей плоских фигур.
Определенный интеграл и его приложения
Однородные уравнения
Условие Липшица

Вычисление объема тела вращения плоской фигуры.

Если тело образуется при вращении вокруг оси  криволинейной трапеции, то любое его плоское сечение, перпендикулярное к оси  будет круг, радиус которого равен соответствующей ординате кривой  Объем тела вращения определяется формулой

  (2.22)

Если тело образуется при вращении криволинейной трапеции, прилежащей к оси  то объем тела вращения определяется формулой

  (2.23)

Пример 61. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями  (одной волной),  вокруг оси

Решение. Построим плоскую фигуру, вращение которой вокруг оси   образует нужное тело:

Искомое тело состоит из двух тел одинаковых объемов, тогда  Найдем

 

 Тогда искомый обьем

Пример 62. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями  вокруг оси

Решение. Построим данную плоскую фигуру. Графиком функции  или  является парабола, симметричная оси ветви направлены вверх, вершина лежит в начале координат. Графиком функции  или  является прямая

Найдем абциссы точек  и

 

Объем полученного тела вращения можно найти как разность объемов тела, образованных вращением вокруг оси  трапеций  и

Объем  образованный вращением трапеции  найдем по формуле (2.22):

Объем  образованного вращением криволинейной трапеции   также найдем по формуле (2.22):

Тогда искомый обьем

Пример 63. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной эллипсом  вокруг оси

Решение. Большая полуось эллипса малая полуось

Построим эллипс. Так как  то при вращении его вокруг малой оси получается сжатый эллипсоид вращения.

Вычислим обьем этого тела по формуле (2.23):

Ординаты точек  и  являются пределами интегрирования  и  соответственно. Для эллипса точки  и имеют координаты  и  то есть  и  поэтому   Из уравнения эллипса выразим

Получим искомый обьем:

Задания для самостоятельного решения

Найти объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных заданными линиями, вокруг указанных осей координат:

1.  (одной волной),  вокруг оси

2. вокруг оси3. вокруг оси  4.  вокруг оси

5.  вокруг оси 6. осью  

прямой  вокруг оси

Ответы. 1.  2.  3.  4.  5.  6.

Математика примеры решения задач