Математика примеры решения задач Интегралы

Математика примеры решения задач

Вычислить несобственный интеграл

Дифференциальные уравнения (ДУ)
Степенные ряды
Неопределенный интеграл
Несобственный интеграл 1-го рода
Исследовать сходимость интеграла
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Вычисление площадей плоских фигур.
Определенный интеграл и его приложения
Однородные уравнения
Условие Липшица

Приложения определенного интеграла

Приведем без вывода основные формулы и примеры геометрических приложений определенного интеграла.

1). Вычисление площадей плоских фигур.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой  ( непрерывна), прямыми   и осью  вычисляется по формуле

  (2.15)

Площадь фигуры, ограниченной кривой  (), непрерывная, прямыми  и осью равна

  (2.16)

Площадь фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми  и  () и двумя прямыми  и  находится по формуле

  (2.17)

Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то прямыми, параллельными оси её следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы

Здесь непрерывные и неотрицательные функции  и  пересекаются в точке с абциссой

  (2.18)

Пример 54. Найти площадь фигуры, ошраниченной осью  графиком функции  прямыми  и

Решение. Графиком функции  является парабола, симметричная относительно оси ветви которой направлены вверх, вершина лежит в точке с координатами (0;2).

Найдем площадь фигуры по формуле (2.15)

Пример 55. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и

Решение. Графиком функции  является парабола, ветви которой направлены вниз, вершина в точке (0;4), симметричная относительно оси  Графиком второй функции  также является парабола, ветви направлены вверх, найдем координаты вершины   то есть вершина в точке (1;-1), парабола симметрична относительно прямой  Построим данную фигуру, площадь которой требуется найти

Найдем абциссы точек пересечения двух графиков:

  

  Получили, что   Согласно формуле (2.17), получим

Пример 56. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями   

Решение. Показательная функция  возрастающая, так как основание степени больше единицы (2>1). Показательная функция убывающая, так как Построим графики данных функций

Найдем абциссу точки пересечения графиков функций  и      

Прямой  разобьем данную фигуру на две, тогда

Найдем точку пересечения графиков функций  и

    тогда, согласно формуле (2.17), получим

Найдем точку пересечения графиков функций  и     тогда, используя формулу (2.17), получим:

Таким образом, площадь данной фигуры равна

.

Определенный интеграл и его приложения. несобственные интегралы Определенный интеграл как предел интегральной суммы и его геометрический смысл

Основные методы интегрирования Согласно формуле Ньютона-Лейбница  при вычислении определенного интеграла надо сначала найти первообразную  или неопределенный интеграл а затем вычислить разность  значений первообразной, поэтому таблица неопределенных интегралов, указанная в пункте 1.3. справедлива и для определенных интегралов.

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями    

Математика примеры решения задач