Математика примеры решения задач Интегралы

Математика примеры решения задач

Вычислить несобственный интеграл

Дифференциальные уравнения (ДУ)
Степенные ряды
Неопределенный интеграл
Несобственный интеграл 1-го рода
Исследовать сходимость интеграла
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Вычисление площадей плоских фигур.
Определенный интеграл и его приложения
Однородные уравнения
Условие Липшица

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ.

Используя определение, вычислить интеграл или установить его расходимость.

а) .

Решение. Интеграл  является несобственным интегралом 1-го рода. Поэтому

 (1)

Для вычисления интеграла  применяем формулу интегрирования по частям:

. (2)

Подставляя (2) в (1), получим

.

Ответ: .

б) .

Решение. Интеграл  - несобственный интеграл 1-го рода. Имеем

.

Отсюда следует

Ответ: интеграл  расходится.

в) .

Решение. Интеграл  - несобственный интеграл 2-го рода, особая точка подынтегральной функции . Поэтому

.

Ответ: .

г) .

Решение. Интеграл  является несобственным интегралом 2-го рода, особая точка  - находится внутри отрезка интегрирования. Тогда

.

Для сходимости интеграла  необходимо и достаточно, чтобы сходились оба интеграла  и .

Рассмотрим интеграл . Имеем

.

Отсюда получаем, что интеграл  расходится. Итак, независимо от поведения интеграла   интеграл  расходится.

Ответ: интеграл  расходится.

д) .

Решение. В интеграле  область интегрирования - бесконечный промежуток ; кроме того, подынтегральная функция имеет особую точку . Поэтому интеграл  разбиваем на сумму несобственных интегралов 1-го и 2-го рода:

. (3)

Имеем

. (4)

Таким образом, используя (4), получим

. (5)

. (6)

Подставляя (5) и (6) в (3), получим

.

Ответ: .

Математика примеры решения задач