Математика примеры решения задач Интегралы

Математика примеры решения задач

Вычислить несобственный интеграл

Дифференциальные уравнения (ДУ)
Степенные ряды
Неопределенный интеграл
Несобственный интеграл 1-го рода
Исследовать сходимость интеграла
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Вычисление площадей плоских фигур.
Определенный интеграл и его приложения
Однородные уравнения
Условие Липшица

СВОЙСТВА НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

Линейность.

Если сходятся интегралы  и , то при любых  сходится интеграл  и имеет место равенство

.

2.2. Формула Ньютона - Лейбница. Если функция  непрерывна на промежутке ,  - первообразная для функции , то несобственный интеграл  сходится тогда и только тогда, когда существует конечный , причем

. (6)

Формула (6) называется формулой Ньютона - Лейбница для несобственного интеграла.

Замечание. Если , то в формуле (6) .

2.3. Интегрирование по частям. Пусть функции  и  непрерывно дифференцируемы на промежутке  и существует конечный

.

Тогда интегралы  одновременно сходятся или расходятся. Если указанные интегралы сходятся, то имеет место формула

. (7)

Формула (7) называется формулой интегрирования по частям.

2.4. Замена переменной. Пусть:

1) функция  непрерывна на промежутке ;

2) функция  удовлетворяет следующим условиям:

а) непрерывно дифференцируема на промежутке ;

б) строго возрастает;

в) .

Тогда имеет место формула

 (8)

при условии, что хотя бы один из интегралов (8) сходится.

Формула (8) - формула замены переменной.

Замечание. Формула (8) верна и в случае, когда функция  строго убывает.

2.5. Интегрирование неравенств. Если сходятся интегралы  и  и для всех  выполняется неравенство , то .

3. НЕСОЬБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ.

Теорема 1 (теорема сравнения). Пусть для всех  выполняются неравенства . Тогда:

а) если интеграл  сходится, то интеграл  также сходится;

б) если интеграл  расходится, то интеграл  расходится.

Следствие. Пусть:

1) ;

2)  при .

Тогда интегралы  и  сходятся или расходятся одновременно.

Заметим, что в исследованиях несобственных интегралов на сходимость при применении теоремы сравнения или ее следствия часто используются так называемые "эталонные" несобственные интегралы  (см. пример 1, п. 1.1.) и  (см. пример 3, п. 1.2.).

Математика примеры решения задач