Математика примеры решения задач Интегралы

Математика примеры решения задач

Вычислить несобственный интеграл

Дифференциальные уравнения (ДУ)
Степенные ряды
Неопределенный интеграл
Несобственный интеграл 1-го рода
Исследовать сходимость интеграла
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Вычисление площадей плоских фигур.
Определенный интеграл и его приложения
Однородные уравнения
Условие Липшица

Несобственный интеграл 1-го рода.

Определение 1. Пусть функция  определена на промежутке  и интегрируема на любом отрезке . Символ  называется несобственным интегралом 1-го рода от функции  на промежутке.

Определение 2. Несобственный интеграл  называется сходящимся, если существует конечный , в противном случае этот несобственный интеграл называется расходящимся.

Сходящийся несобственный интеграл определяется равенством

. (1)

Отметим, что для расходящегося несобственного интеграла либо , либо  не существует.

Пример 1. Исследовать сходимость интеграла .

Решение.

а). Имеем

 .

Отсюда следует, что  сходится при  и расходится при .

б). Тогда

Таким образом, интеграл I (1) расходится.

Ответ: интеграл  сходится при  и расходится при .

Пример 2. Исследовать сходимость интеграла .

Решение. Имеем

 - не существует.

Ответ: интеграл  расходится.

Аналогично интегралу  определяются следующие интегралы:

, (2)

, (3)

причем интеграл в левой части (3) сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба интеграла в правой части (3)

1.2. Несобственный интеграл 2-го рода.

Определение 3. Пусть функция  определена на конечном промежутке , интегрируема на любом отрезке . Символ  называется несобственным интегралом 2-го рода от функции  на промежутке .

Определение 4. Несобственный интеграл  называется сходящимся, если существует конечный , в противном случае этот интеграл называется расходящимся.

Сходящийся несобственный интеграл определяется равенством

. (4)

Отметим, что определение 4 сходящегося несобственного интеграла 2-го рода на промежутке  является содержательным лишь в том случае, когда функция  неограничена на любом интервале . Действительно, если функция  интегрируема (в смысле Римана) на любом отрезке , ограничена на , то, доопределив  в точке , получим функцию, интегрируемую по Риману на отрезке , причем интеграл Римана от этой функции равен пределу в правой части (4) и не зависит от . Поэтому при рассмотрении несобственных интегралов 2-го рода на промежутке  будем считать, что функция   неограничена на любом интервале .

Определение 5. Точка  числовой оси называется особой точкой подынтегральной функции  (см. (4)), если на любом интервале  она является неограниченной.

Аналогично интегралу (4) определяются интегралы:

 - особая точка,

 - особая точка.

Пример 3. Исследовать сходимость интеграла .

Решение. а) . Имеем

Отсюда следует, что интеграл  сходится при  и расходится при .

 б) .

Таким образом, интеграл  расходится.

Ответ: интеграл  сходится при  и расходится при .

Другие типы несобственных интегралов.

Определение 6. Пусть функция  определена на конечном или бесконечном промежутке   за исключением точек , где . Тогда по определению несобственный интеграл

. (5)

Определение 7. Несобственный интеграл  называется сходящимся, если сходится каждый из интегралов в правой чисти (5). В противном случае интеграл  называется расходящимся.

В дальнейшем мы будем рассматривать несобственные интегралы вида   в предположении, что:

а) функция  определена при , где  - либо конечная точка, либо ;

б) функция  интегрируема по Риману на любом отрезке .

Тогда по определению сходящегося несобственного интеграла:

 (несобственный интеграл 1-го рода),

 (несобственный интеграл 2-го рода).

Интегрирование рациональных дробей Цель занятия – научиться разлагать рациональные дроби на простейшие, научиться интегрировать простейшие рациональные дроби.

Интегрирование иррациональных функций

Интегрирование тригонометрических функций Цель занятия - научиться брать интегралы вида  , где R- рациональная функция относительно .

Математика примеры решения задач