Математика примеры решения задач Интегралы

Математика примеры решения задач

Вычислить несобственный интеграл

Дифференциальные уравнения (ДУ)
Степенные ряды
Неопределенный интеграл
Несобственный интеграл 1-го рода
Исследовать сходимость интеграла
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Вычисление площадей плоских фигур.
Определенный интеграл и его приложения
Однородные уравнения
Условие Липшица

Интегрирование тригонометрических функций

 Цель занятия - научиться брать интегралы вида  , где R- рациональная функция относительно .

 Интегралы вида J находили в конце прошлого занятия в примерах   где использовались тригонометрические подстановки. Разобранные там примеры были достаточно простые. В общем же случае вопрос решает следующая теорема.

 Теорема. Всякий интеграл J с помощью подстановки приводится к интегралу от рациональной дроби.

 Доказательство. Из подстановки следует, что  . Кроме того, используем известные формулы тригонометрии:

 После замены  их значениями получим интеграл от рациональной дроби относительно t. Подстановка  в силу ее всеобщности называется универсальной тригонометрической подстановкой.

 Пример. Найти интеграл .

 Решение. После замены  их значениями, получим

, где , .

 Пример. Найти самостоятельно интеграл .

Универсальная подготовка (в силу ее всеобщности) зачастую приводит к рациональным дробям, интегрирование которых достаточно сложно и громоздко. Кроме того, во многих случаях к цели приводят более простые методы. Приведем некоторую классификацию частных случаев.

Интегралы вида .

Здесь возможны следующие случаи.

 1. Оба показателя степени: m и n – четные положительные числа (один из них может быть нулем). Тогда к цели приводят так называемые формулы понижения степени:

.

 Пример. Найти интеграл .

Так как  и заменяем .

 После упрощений получим ,

.

 2. Хотя бы одно из чисел m или n – нечетное положительное число. Тогда применяем метод отщепления от нечетной степени  и используем формулы .

 Пример. Найти интеграл .

 Решение.

.

 Пример. Решите самостоятельно .

 3. Если m и n – целые отрицательные числа одинаковой четности, то к цели

приводит метод отщепления.

 Пример. .

 Решение. .

 4. В некоторых случаях эффективно использование тождества

или даже .

 Пример. Найти интеграл .

 Решение. 

 ,

 ,

 .

 Интегралы вида , , где m – целое положительное число, находятся с помощью тождеств , .

 Пример.

 Пример. Найти интеграл .

 Решение.

.

 Следующие три интеграла берутся с помощью известных формул тригонометрии ,

 ,

  .

 Пример. Найти интеграл .

 Решение. 

.

 Подстановка  рекомендуется для нахождения интеграла , а

также в тех случаях, когда в интеграле  числа m и n - четные (положительные или отрицательные). Здесь используются известные формулы тригонометрии: .

 Пример. Найти интеграл .

 Решение. ,

,

. Так как , то окончательно

получим .

 Замечание. Для интегралов  где k- натуральное число, методом интегрирования по частям можно получать рекуррентные соотношения, приведенные в таблице интегралов.

Решить самостоятельно

.

 Выше были рассмотрены основные приемы и формулы для нахождения неопределенных интегралов. Следует отметить, что многие функции не интегрируются в конечном виде. Так, например, функция непрерывна в промежутке , однако, интеграл от нее  (интегральный синус) не выражается  в конечном виде через элементарные функции. То же самое относится к

интегралам  (интегральный косинус),  (интегральный 

логарифм).

 Замечание. Во многих случаях заданный интеграл  может быть найден различными способами. Так, например, интеграл  с помощью подстановки  дает , где , . С другой стороны, если возьмем подстановку , то .

Поэтому .

 Окончательно . Этот результат лишь формой отличается от предыдущего, так как 

 .

Математика примеры решения задач