Математика примеры решения задач Интегралы

Математика примеры решения задач

Вычислить несобственный интеграл

Дифференциальные уравнения (ДУ)
Степенные ряды
Неопределенный интеграл
Несобственный интеграл 1-го рода
Исследовать сходимость интеграла
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Вычисление площадей плоских фигур.
Определенный интеграл и его приложения
Однородные уравнения
Условие Липшица

Интегрирование иррациональных функций

 Цель занятия - научиться брать интегралы видов:

,

,

.

 Здесь предполагается, что подынтегральная функция f рациональна относительно всех своих аргументов. Эти интегралы находятся по одной схеме: необходимо выбрать подстановку таким образом, чтобы все радикалы исчезли, т. е. чтобы после замены переменной были получены интегралы от рациональных функций относительно новой переменной t .

 В первом случае к цели приводит подстановка , где .

 Пример. .

 Решение. Здесь , поэтому . После замены получим

.

Это интеграл от неправильной рациональной дроби. Разделив числитель на знаме-натель, получим

 Так как , получим .

.

 Так как , , находим

,

.

 Интеграл  берется аналогично: . Тогда .

 Пример. Найти интеграл .

 Решение. Здесь полагаем, что .

,

,.Для интеграла  берем подстановку , где . Из подстановки находим х и затем dx. После  замены переменных получим снова интеграл от рациональной дроби.

 Пример. Найти интеграл .

 Решение. . Отсюда находим х и dx: ,

 , ,

 .

После замены переменных получим интеграл от рациональной дроби . Разлагаем дробь на простейшие: , .

Решив систему уравнений, получим ,

.

 Интегрируя почленно, найдем

,,

. Из подстановки следует, что ,

. .

Тригонометрические подстановки

 Интегралы  удобно находить с помощью тригонометрических подстановок. При этом часто используются тригонометрические тождества

.

В интеграле  к цели приводит подстановка , . В итоге получаем интеграл , не содержащий иррациональностей.

При этом возврат к старой переменной «х» проще выполнить с помощью прямоугольного треугольника. Так как , то получаем треугольник со сторонами (теорема Пифагора). Отсюда находится любая тригонометрическая функция.

 
 

 а х

 t

 

 

 Пример. Найти .

 Решение. ,

 а х ,

  , ,

 .

Интеграл находится с помощью подстановки .Тогда ,.

. В качестве упражнения найдите интеграл . Наконец, в интеграле  цель достигается с помощью подстановки .  Тогда 

. Здесь использовалось тождество , откуда . Возврат к старой переменной «х» выполняется также с помощью прямоугольного треугольника.

 Пример. Найти интеграл .

 Решение. Полагаем . После замены переменных получим .

Так как .

.

Решить самостоятельно

 Найти интегралы

Математика примеры решения задач