Математика примеры решения задач Интегралы

Математика примеры решения задач

Вычислить несобственный интеграл

Дифференциальные уравнения (ДУ)
Степенные ряды
Неопределенный интеграл
Несобственный интеграл 1-го рода
Исследовать сходимость интеграла
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Вычисление площадей плоских фигур.
Определенный интеграл и его приложения
Однородные уравнения
Условие Липшица

Интегрирование рациональных дробей

 Цель занятия – научиться разлагать рациональные дроби на простейшие, научиться интегрировать простейшие рациональные дроби.

Изучив оба метода интегрирования: замену переменной и интегрирование по частям, перейдем к нахождению интегралов от различных классов элементарных функций.

 Определение. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов:

.

 В последующем постоянно предполагается, что дробь  несократима, т.е. многочлены   не имеют общих корней. Рациональная дробь  называется правильной, если , и неправильной, если . Рассмотрим несколько примеров.

.

Здесь дробь  правильная, так как ; дробь  также правильная, так как ; дробь  неправильная, так как . Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель, можно получить целую часть этой дроби – многочлен степени , плюс некоторую правильную рациональную дробь. Таким образом, неправильная рациональная дробь представлена в виде

, где - многочлен степени , а - правильная рациональная дробь.

 Пример. Выделить целую часть дроби .

Делим числитель на знаменатель «углом»:

.

 Замечание. В простейших случаях, когда, например, , эту работу можно выполнить быстрее:

 ,

 .

 Поскольку интегрирование многочлена не представляет труда, то по существу, дело сводится к интегрированию правильных рациональных дробей. Для этого потребуются некоторые новые понятия.

 Хорошо известно, что квадратный трехчлен с вещественными корнями  разлагается на линейные  множители: .

В общем случае многочлен степени n разлагается на произведение линейных и квадратных множителей вида

 ,

причем указанные трехчлены не имеют вещественных корней. При этом  говорят, что корень  - простой, корень  имеет кратность к.

 Примеры

 Многочлен  имеет простые вещественные корни

.

 Решение. Многочлен  имеет вещественный простой корень ; двукратный корень .

 Определение. Следующие рациональные дроби называются простейшими первого, второго, третьего и четвертого типов:

.

Здесь - заданные числа,

 В последующем постоянно предполагается, что трехчлен  не имеет

вещественных корней и, следовательно, не разлагается на линейные множители.

 Примеры. Рассмотрим дроби

.

 Здесь - дробь первого типа, причем - дробь второго типа, где . - дробь третьего типа, где , причем трехчлен  вещественных корней не имеет. Дробь   принадлежит к четвертому типом, где .

 Дроби  и принадлежат соответственно к первому и второму типам, причем .

 Теорема о разложении рациональной дроби. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей первого – четвертого типов. При этом если  - простой вещественный корень знаменателя , то в разложении ему соответствует дробь первого типа ; если  - вещественный корень кратностью k, то в разложении ему соответствует сумма k дробей первого и второго типов:

; если в знаменателе  имеется трехчлен без вещественных корней, то в разложении дроби ему соответствует дробь третьего типа ; если, наконец, знаменатель  содержит множитель , то в разложении ему соответствует сумма «k» дробей третьего и четвертого типов: .

Таким образом, разложение дроби существенно зависит от того, какие корни имеет знаменатель . Поэтому разложение рекомендуется проводить по следующей схеме.

 1. Найти все корни знаменателя  и определить их кратность.

 2. Написать разложение  на линейные и квадратные множители.

 3. Написать сумму простейших дробей в соответствии с полученным разложе-нием знаменателя.

 Пример 1. Разложить дробь .

 Решение. Здесь знаменатель имеет разложение  . Отсюда следует, что  - простой вещественный корень, ему соответствует дробь ; - вещественный двукратный корень, ему соответствует сумма дробей . Поэтому данная дробь представлена суммой .

 Пример 2. Разложить дробь .

 Решение. Здесь , причем трехчлен вещественных корней не имеет, поэтому  .

 Пример 3. Разложить дробь .

 Решение. Здесь знаменатель 

имеет вещественные простые корни: . Двучлен  веществен-ных корней не имеет: если , то . Поэтому разло-жение дроби имеет вид 

 .

Теперь перейдем к нахождению неопределенных коэффициентов разложения:  А, В, С,…. Существуют два способа их определения. Поскольку оба способа достаточно простые, рассмотрим их на конкретных примерах.

 Первый способ. Дробь  представлена в виде

 .

Поскольку здесь знаменатели равны, то должны быть равны и числители.

. Имеет место равенство двух многочленов, которое выполняется тождественно, т.е. при любых значениям «х».

Пусть, например,  при  при . Таким образом, получили разложение дроби .

 Замечание. Нахождение неопределенных коэффициентов А, В, С, … упрощается, если в качестве значений «х» брать корни знаменателя.

 Второй способ покажем на следующем примере:

,

. В правой части раскроем скобки и приведем подобные члены, тогда  или . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях  х и свободные члены, получаем систему линейных уравнений относительно А, В, С: . Решив эту систему способом подстановки (или по формулам Крамера), получим . Подставим эти значения во второе равенство: . Получаем разложение дроби .

 Замечание. Результат вычислений всегда можно проверить. Так, в последнем примере .

 Упражнение. Разложить на простейшие дробь . Разложив дробь  на простейшие и проинтегрировав полученное  равенство, получим в правой части (в общем случае) сумму следующих четырех интегралов:

Первый из них по существу табличный: . Второй интеграл степенной:

.

Третий интеграл был рассмотрен выше.

 Рассмотрим подробнее интеграл , . Так как , чи-слитель представляем в виде , . Интеграл  степенной, так как

.

Для нахождения интеграла  выделим из трехчлена полный квадрат:

.

Тогда . Этот интеграл находится с помощью рекуррентного соотношения (15). Впрочем интеграл может быть найдем с помощью тригонометрической подстановки 

 Пример. Найти интеграл .

 Решение. Так как , получим .

Тогда  .

. Полагая в формуле  (15) , получим

, где ,

. Окончательно находим

Для сравнения найдем , где  с помощью подстановки . Тогда . Поэтому 

. Так как ,  получим

,. Из подстановки следует, что ,

,

.

 Решить примеры

 .

Математика примеры решения задач