Математика примеры решения задач Интегралы

Математика примеры решения задач

Вычислить несобственный интеграл

Дифференциальные уравнения (ДУ)
Степенные ряды
Неопределенный интеграл
Несобственный интеграл 1-го рода
Исследовать сходимость интеграла
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Вычисление площадей плоских фигур.
Определенный интеграл и его приложения
Однородные уравнения
Условие Липшица

Интегрирование по частям

 Цель занятия – научиться пользоваться формулой  и применять ее к каждому из рассмотренных ниже классов функций.

 Если заданный интеграл  не может быть найден рассмотренными выше способами, то подынтегральное выражение  разбивают на два сомножителя (u и dv) таким образом, чтобы интеграл  был табличным или сводился к табличному. Единого правила для этого не существует, однако можно провести некоторую классификацию интегралов, которые берутся по частям.

 1. Интегралы, содержащие произведение многочлена  на тригонометрические или показательные функции. Более точно к первому классу относятся интегралы вида

 

Так как интегралы от  по существу табличные, то в этих примерах мешает интегрированию многочлен . От него можно освободиться путем n-кратного дифференцирования, так как при каждом дифференцировании степень многочлена понижается на одну единицу. Поэтому во всех примерах в качестве функции u берут многочлен, т.е. полагают, что . Приведем примеры.

 ,

Окончательно можно записать:

,

.

 Замечание. Обратите внимание, что здесь был дан одночлен второй степени,

т. е. . Поэтому формула интегрирования по частям применялась дважды.

 2. Так называемые циклические интегралы. К ним относятся интегралы вида

.

В интегралах  и  надо дважды применить формулу интегрирования по частям, причем разбиение подынтегрального выражения на u и dv можно выполнить

по-разному. Найдем, например, интеграл .

.

Повторяем этот процесс.

.

.

Здесь в правой части находится исходный интеграл .

. Решив это уравнение относительно , найдем , .

 Аналогично доказывается, что интеграл определяется формулой

. Для нахождения интегралов  достаточно один раз применить формулу интегрирования по частям, а затем воспользоваться формулами тригонометрии. Например,

Так как , то , поэтому

,

.Отсюда следует,  что

. Как видно, циклические интегралы находятся довольно громоздким способом, поэтому они внесены в таблицу интегралов под номерами (11) – (14).

 3. К третьему классу относятся некоторые интегралы, содержащие аркусы или логарифмы в сочетании с многочленами: 

 Так как в таблице нет интегралов от аркусов или логарифмов, то эти функции надо «убить» с помощью дифференцирования. Поэтому в качестве функции u берем  .

,

Полученный интеграл снова берем по частям.

Окончательно получаем ,

.

 Замечание. Указанные три класса не исчерпывают многообразия всех случаев применения формулы интегрирования по частям. Например, интеграл  относится к числу  циклических. Действительно, полагая

 получим 

.

Полученный интеграл снова находим по частям

.

Итак, .

Отсюда , .

 Замечание. Во многих случаях приходится применять оба способа – замену переменной и интегрирование по частям, например,

.

Интегрируя по частям трижды, находим, что

. После подстановки

.

Математика примеры решения задач