Математика примеры решения задач Интегралы

Математика примеры решения задач

Вычислить несобственный интеграл

Дифференциальные уравнения (ДУ)
Степенные ряды
Неопределенный интеграл
Несобственный интеграл 1-го рода
Исследовать сходимость интеграла
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Вычисление площадей плоских фигур.
Определенный интеграл и его приложения
Однородные уравнения
Условие Липшица

Неопределенный интеграл

 Теорема существования. Если функция  непрерывна в заданном промежутке , то в этом промежутке она имеет первообразную.

Основные свойства неопределенного интеграла

1. . 2.

3. . 4. .

5. .

6. Если , то .

7. Если , то .

8. Если , то .

Методы интегрирования

 1. Метод замены переменной (способ подстановки) 

 .

 2. Метод интегрирования по частям:  .

Таблица неопределенных интегралов

 1. Интеграл от степенной функции :

; (1) .  (2) 

. (3)

 2. .

 3. Интеграл от показательной функции :

.

 4. Интегралы от тригонометрических функций:

;

.

 5. Интегралы от гиперболических функций:

;

.

 6. Интегралы, содержащие выражение вида :

. (5) .  (6)

. (7) .  (8)

. (9) .  (10)

 7. Часто встречающиеся интегралы:

.

.

. (11)

. (12)

. (13)

. (14)

 8. Реккурентные соотношения

.  (15)

.

.

 Замечание 

 1. Во всех формулах подынтегральные функции предполагаются сложными,

 т. е. аргумент и есть некоторая функция от независимой переменной  х: . Следует хорошо уяснить, что все формулы верны лишь в том случае, когда подынтегральная функция умножается строго на дифференциал аргумента u, т. е. на . Так, например, , но , так как здесь , чего нет под интегралом. Аналогично , но , так как здесь , чего нет под интегралом.

 Для упрощения записи во всех формулах независимая переменная х опущена. Например, формула (1) имеет следующий вид: . Такая запись затрудняет запоминание формулы.

 2. Вся таблица интегралов разбита на восемь групп формул. Деление это, вообще говоря, произвольное, сделано с единственной целью, чтобы можно было быстрее и легче запомнить эти формулы. Впрочем, в большинстве случаев достаточно знать первые шесть групп формул. Седьмая группа выделена потому, что эти интегралы находятся достаточно длинным способом и встречаются на практике редко.

 3. Следует научиться работать с рекуррентными соотношениями. Сущность их состоит в том, что, зная интеграл , можно без труда найти интеграл

 Приведем пример использования формулы (15). Полагая здесь ,  получим

 (табличный интеграл (5)),

.

При  имеем ,

,

.

 В заключение отметим, что существуют три способа отыскания неопределенных интегралов: интегрирование с помощью табличных формул (он называется иначе «метод подведения под знак дифференциала»), метод замены переменной (иначе: «способ подстановки») и метод интегрирования по частям. Подробно  рассмотрим эти методы.

Интегрирование по формулам

Интегрирование по формулам. Способ подстановки Цель занятия – усвоить шестую группу формул;  овладеть методом замены переменной; научиться брать интегралы, содержащие квадратный трехчлен.

Интегрирование по частям Цель занятия – научиться пользоваться формулой  и применять ее к каждому из рассмотренных ниже классов функций.

Математика примеры решения задач