Математика примеры решения задач РЯДЫ

Математика примеры решения задач

Вычислить несобственный интеграл

Дифференциальные уравнения (ДУ)
Степенные ряды
Неопределенный интеграл
Несобственный интеграл 1-го рода
Исследовать сходимость интеграла
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Вычисление площадей плоских фигур.
Определенный интеграл и его приложения
Однородные уравнения
Условие Липшица

Степенные ряды

 Степенным рядом называются ряды вида

,

где  – коэффициенты степенного ряда,  – центр ряда.

 Подставим в степенной ряд произвольное значение . Если полученный при этом числовой ряд сходится, то х называют точкой сходимости степенного ряда, если расходится, то х называют точкой расходимости степенного ряда. Множество всех точек сходимости образует область сходимости D степенного ряда. Отметим, что ¯, так как центр ряда  всегда содержится в D.

 Для каждого степенного ряда существует число , называемое радиусом сходимости, такое, что при  этот ряд сходится абсолютно, а при  расходится. Интервал  называют интервалом сходимости степенного ряда. Вопрос о сходимости ряда на концах интервала, т.е. в точках   решается в каждом конкретном случае отдельных исследованием.

 Для определения радиуса сходимости R можно использовать формулы, следующие из признаков Даламбера и Коши:

  или ,

если в правых частях равенств существуют конечные или бесконечные пределы.

 Пример 6.7. Найти область сходимости ряда

 .

 Решение. Это степенной ряд с коэффициентами , центром ряда . Определим радиус сходимости.

 

 .

 Следовательно ряд сходится в интервале  и расходится при . Проведем исследование на концах интервала сходимости.

 При  получаем обобщенный гармонический ряд ,  и, следовательно, ряд расходится. Точку  не включаем в область сходимости.

 При  получаем знакочередующийся ряд , который сходится условно по признаку Лейбница. Точку  включаем в область сходимости.

 Область сходимости .

 Пример 6.8. Найти область сходимости ряда

 .

 Решение. Это степенной ряд с коэффициентами , центром ряда . Определим радиус сходимости.

 .

Следовательно ряд сходится в интервале  и расходится при . Проведем исследование на концах интервала сходимости.

При  получаем числовой ряд , для которого

,

т. е. нарушен необходимый признак сходимости.

При  получаем знакочередующийся  числовой ряд , для которого аналогично

.

 Следовательно, точки  не включаем в область сходимости.

Область сходимости .

Числовые ряды. Сумма ряда. Действия над сходящимися рядами. Необходимый признак сходимости.

Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов

Две задачи математического анализа

Математика примеры решения задач