Математика примеры решения задач РЯДЫ

Математика примеры решения задач

Вычислить несобственный интеграл

Дифференциальные уравнения (ДУ)
Степенные ряды
Неопределенный интеграл
Несобственный интеграл 1-го рода
Исследовать сходимость интеграла
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Вычисление площадей плоских фигур.
Определенный интеграл и его приложения
Однородные уравнения
Условие Липшица

Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов.

 Ряд называется знакопеременным, если он содержит положительные и отрицательные члены.

Знакопеременный ряд  называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей .

Знакопеременный ряд  называется условно сходящимся, если он сходится, но ряд из модулей  расходится.

При исследовании ряда на абсолютную сходимость составляют ряд из модулей и применяют к нему подходящий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов или необходимый признак сходимости (см. п. 6.1, 6.2).

Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды вида

, где   для .

Признак Лейбница (достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов). Если члены знакочередующегося ряда  удовлетворяют условиям:

1)  для любых ;

2) ,

то ряд сходится.

Пример 6.6. Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость.

а) , б) , в) .

Решение. а) Составим ряд из модулей . Применим к нему необходимый признак сходимости:

.

Так как , то и , т.е. для исходного ряда нарушен необходимый признак сходимости. Ряд расходится.

б) Составим ряд из модулей . Применим к нему признак Даламбера:

.

Ряд из модулей сходится. Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

в) Составим ряд из модулей . Сравним его с рядом  по предельному признаку сравнения:

.

Следовательно, ряды ведут себя одинаково. Ряд  является частным случаем обобщенного гармонического ряда  при , т.е. он расходится. Значит, ряд из модулей также расходится, т. е. абсолютной сходимости у исходного ряда нет.

Исследуем исходный ряд на условную сходимость. Это знакочередующийся ряд. Применим признак Лейбница:

, .

Условия признака Лейбница выполнены, значит, ряд сходится.

Итак, исходный ряд сходится условно.

Математика примеры решения задач