Математика примеры решения задач ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Математика примеры решения задач

Вычислить несобственный интеграл

Дифференциальные уравнения (ДУ)
Степенные ряды
Неопределенный интеграл
Несобственный интеграл 1-го рода
Исследовать сходимость интеграла
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Вычисление площадей плоских фигур.
Определенный интеграл и его приложения
Однородные уравнения
Условие Липшица

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

ДУ имеют вид

.

Если , то ДУ принимает вид

и называется линейным однородным ДУ (ЛОДУ). Если T 0, то уравнение называется линейным неоднородным ДУ (ЛНДУ). Если , то уравнение называют линейным ДУ с постоянными коэффициентами.

 Рассмотрим ЛОДУ с постоянными коэффициентами

 Для нахождения его общего решения составляют характеристическое уравнение

.

 При решении этого квадратного уравнения возможны три случая:

 1. . Уравнение имеет два действительных различных корня   (кратность каждого корня ). Тогда общее решение исходного ЛОДУ имеет вид

.

2. . Уравнение имеет два равных корня  (говорят, что корень  имеет кратность ). Тогда общее решение исходного ЛОДУ имеет вид

.

3. . Уравнение имеет два комплексно сопряженных корня  (кратность каждого корня ). Тогда общее решение исходного ЛОДУ имеет вид

.

Рассмотрим далее ЛНДУ с постоянными коэффициентами

.

 Его общее решение задается формулой

,

где  – общее решение соответствующего ЛОДУ , а  – любое частное решение данного ЛНДУ.

 Рассмотрим частный случай, когда правая часть ЛНДУ   является функцией специального вида

 ,

где  – многочлены от х степеней n, m соответственно. Решение в этом случае проводят по схеме:

 1. Составляют характеристическое уравнение соответствующего ЛОДУ и находят его корни. Выписывают общее решение соответствующего ЛОДУ .

 2. По виду правой части  выписывают число . Если  не является корнем характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ, то частное решение ЛНДУ  ищут в виде

,

а если  является корнем кратности , то в виде

,

где  –- многочлены от х степени l c неопределенными коэффициентами. Подставляя выражение для  в исходное ЛНДУ, вычисляют значения неопределенных коэффициентов многочленов  и выписывают частное решение ЛНДУ .

 3. Общее решение исходного ЛНДУ находят в виде .

 Пример 5.6. Найти частное решение ДУ, удовлетворяющее заданным начальным условиям

Решение. Это ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Для соответствующего ЛОДУ  составляем характеристическое уравнение

, ,

.

Общее решение ЛОДУ имеет вид

.

 По виду правой части ЛНДУ выписываем число . Оно не является корнем характеристического уравнения ЛОДУ, поэтому частное решение ЛНДУ  ищем виде =. Вычисляем производные:

=

.

Подставляем в ЛНДУ:

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части равенства, получаем:

, откуда .

Подставляя найденные значения А , В в , имеем =. Итак,  – общее решение исходного ДУ.

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Вычисляем

.

и подставляем начальные условия в :

  откуда .

 Подставляя в общее решение у, получаем искомое частное решение

.

Математика примеры решения задач