Математика примеры решения задач ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Математика примеры решения задач

Вычислить несобственный интеграл

Дифференциальные уравнения (ДУ)
Степенные ряды
Неопределенный интеграл
Несобственный интеграл 1-го рода
Исследовать сходимость интеграла
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Вычисление площадей плоских фигур.
Определенный интеграл и его приложения
Однородные уравнения
Условие Липшица

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

ДУ второго порядка может быть задано:

в общем виде

;

 или в разрешенном относительно старшей производной виде

.

 Задача Коши для ДУ второго порядка имеет вид

, ,

т.е. в точке  задаются значения искомой функции  и ее производной .

 Общее решение ДУ второго порядка имеет вид , т.е. зависит от двух произвольных постоянных. Один из основных методов решения произвольных ДУ второго порядка – понижение порядка уравнения.

 Рассмотрим некоторые типы ДУ второго порядка, допускающие понижение порядка.

 1. . Общее решение находят двухкратным интегрированием:

,

.

2. , т.е. ДУ не содержит искомой функции у. Подстановкой  исходное ДУ сводится к ДУ первого порядка относительно новой неизвестной функции .

3. , т.е. ДУ не содержит независимой переменной x. Подстановкой  исходное ДУ сводится к ДУ первого порядка относительно новой неизвестной функции .

 Пример 5.4. Решить ДУ второго порядка, используя методы понижения порядка:

.

 Это уравнение вида , т.е. не содержит у. Используем подстановку . Получаем ДУ первого порядка относительно неизвестной функции :

.

 Это линейное ДУ. Используем подстановку :

.

 Функцию  находим как частное решение ДУ

,

.

Функцию  находим как общее решение ДУ

.

Тогда

.

Возвращаемся к исходным переменным:

 – общее решение исходного уравнения.

Пример 5.5. Решить ДУ второго порядка, используя методы понижения порядка:

.

 Это уравнение вида , т.е. не содержит х. Используем подстановку .

 Подставляя выражения для  в исходное ДУ, получим ДУ первого порядка, где у становится независимой переменной,  – неизвестной функцией:

.

 Разделяем переменные и интегрируем:

 .

 Так как , то ,  – общий интеграл исходного ДУ.

Математика примеры решения задач