Математика примеры решения задач ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Математика примеры решения задач

Вычислить несобственный интеграл

Дифференциальные уравнения (ДУ)
Степенные ряды
Неопределенный интеграл
Несобственный интеграл 1-го рода
Исследовать сходимость интеграла
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Вычисление площадей плоских фигур.
Определенный интеграл и его приложения
Однородные уравнения
Условие Липшица

Пример 5.1. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения

.

 Решение. Разрешаем ДУ относительно производной:

.

 Правая часть ДУ имеет вид , следовательно, это уравнение с разделяющимися переменными. Переходим к дифференциалам, разделяем переменные и интегрируем:

,

,

- общее решение.

Пример 5.2. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения

.

 Решение.

 Коэффициенты при дифференциалах  являются однородными функциями второго порядка относительно x, y :

 ,

.

Следовательно, имеем однородное ДУ первого порядка. Применяем подстановку , где   – новая неизвестная функция. Тогда

 

и ДУ принимает вид:

,

.

 Получили ДУ с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции . Делим обе его части на  и интегрируем:

, , ,

.

 Возвращаемся к исходным переменным, подставляя :

 ,

  – общий интеграл.

Пример 5.3. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

 Решение. Это уравнение Бернулли . Применим подстановку , где  – новые неизвестные функции.

,

.

 Функцию  выберем так, чтобы выражение в скобках обращалось в ноль:

 .

 Получили ДУ с разделяющимися переменными. Находим   как частное решение этого ДУ:

,

 .

 Для определения  также получаем ДУ с разделяющимися переменными:

 ,

 ,

 .

 Тогда

  – общее решение исходного уравнения.

Математика примеры решения задач