Математика примеры решения задач Интегралы

Математика примеры решения задач

Вычислить несобственный интеграл

Дифференциальные уравнения (ДУ)
Степенные ряды
Неопределенный интеграл
Несобственный интеграл 1-го рода
Исследовать сходимость интеграла
Основные методы интегрирования
Метод интегрирования по частям
Вычисление площадей плоских фигур.
Определенный интеграл и его приложения
Однородные уравнения
Условие Липшица

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Пусть функция  определена на  и интегрируема на любом отрезке . Тогда  называется несобственным интегралом от функции  в пределах от   до  и обозначается . Таким образом

 = . (3.1)

Аналогично определяются интегралы

 = . (3.2)

=+ (3.3)

( с – любая точка интервала , чаще ), где  независимо друг от друга.

 Если приведенные пределы существуют и конечны, то соответствующие интегралы называют сходящимися. В противном случае интегралы называются расходящимися.

 Признак сравнения. Если , то из сходимости интеграла  следует сходимость , а из расходимости интеграла   - расходимость интеграла .

 Пример 3.1. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

а) ; б) .

 Решение. а) Воспользуемся формулой (3.1):

 =

 .

 б) Согласно формуле (3.3):

 =+=

 =

 

  .

Задание 3

Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

3.1 . 3.2 .  3.3 . 3.4 .

3.5 . 3.6 .  3.7

3.8 . 3.9 .  3.10 .

3.11 . 3.12 .  3.13 .

3.14 . 3.15 .  3.16 .

3.17 . 3.18 .  3.19 .

3.20 . 3.21 .  3.22 .

3.23 . 3.24 .  3.25 .

3.26 . 3.27 .  3.28 .

3.29 . 3.30 .

Первообразная функция и неопределенный интеграл. Таблица основных интегралов

ОПРЕДЕЛЕНЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

Правила вычисления двойных интегралов

Вычислить , где область  ограничена линиями .

Математика примеры решения задач