Математика примеры решения задач Поверхности второй степени Пределы и числовые ряды Двойной интеграл Метод интегрирования по частям Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования

Дифференцирование сложной ФНП

Сложная ФНП, как и сложная функция одного переменного, есть суперпозиция двух или нескольких функций. Например, сложная функция , определенная на множестве , понимается как суперпозиция "внешней" функции  и "внутренних" функций , , определенных на множестве . При этом множество значений

совпадает с областью определения функции . Переменные ,  называем независимыми; ,  – промежуточными.

Число независимых и промежуточных переменных может быть различным.

Рассмотрим теорему о дифференцируемости сложной функции , . Ее доказательство и формула производной сложной функции может быть распространена на другие
виды сложной ФНП.

Преобразуем тройной интеграл в повторный и вычислим его Вычисление двойного интеграла

ТЕОРЕМА. Если

функция ,   – дифференцируемая в точке , , т.е. , причем ;

функция ,  – дифференцируемая в точке , , т.е. , причем ;

функция , , где

  – дифференцируемая в точке , где , ,
т.е. , где , причем ,

то сложная функция  дифференцируема
в точке .

Доказательство. Пусть , . Тогда
последовательно имеем

, где , , т.е. ;

аналогично .

Используя условие теоремы, можно записать

, поскольку

.

Здесь  в силу дифференцируемости функций ,  и  по условиям теоремы.

Заметим, что число

  –

производная рассматриваемой сложной функции  в точке .

Для вычисления производных сложной функции в общем случае нужно: 1) сложную функцию дифференцировать по независимым
переменным; 2) установить число независимых переменных (что
соответствует количеству возможных частных производных первого порядка сложной функции); 3) определить число промежуточных переменных (т.е. количество слагаемых в формуле для значения
каждой частной производной сложной функции).

Производная сложной ФНП по независимому переменному равна сумме произведений производной внешней функции по каждому из промежуточных переменных, умноженной на производную этого промежуточного переменного по соответствующему независимому аргументу.

Прежде чем вычислять производную сложной функции, рекомендуется сначала написать формулу в общем виде, а затем
подставить конкретные функции. Например, , где  – сложная функция,  имеет один независимый аргумент  и два промежуточных аргумента  и , поэтому производная сложной функции по ее независимому аргументу имеет вид  или ; обращаем внимание на
различие знаков   и .

ПРИМЕР. Написать формулы для производных сложных функций:

а) , ; б) , , ;

в) , , , , .

Ответ. а) промежуточная переменная –  (одна!), независимые
переменные –   (три!), поэтому имеем для сложной функции  формулы вычисления частных производных: ; ; ;

б) для сложной функции  один независимый аргумент – ; три промежуточных аргумента – . Поэтому
полная производная сложной функции по  вычисляется по формуле ;

в) аналогично имеем

.

В рассмотренных примерах предполагается, что в окончательный результат подставлены значения промежуточных переменных через независимые аргументы.

ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Вычислить производные сложных функций:

1) , , , ;

2) , , ;

3) , , ;

4) , , .

Ответ. 1) ;

2)

3) ;

4) , ,  ищем

. Далее
следует подставить значения ;  и преобразовать выражение; производная сложной функции  есть функция от .

Дифференцируемость ФНП Показать по определению дифференцируемость функции   в произвольной точке .

Дифференциалы высших порядков ФНП Для функции . Найти ,  при произвольных  и .

Формула Тейлора для ФНП записывается в дифференциальной форме по аналогии с формулой Тейлора для функции одной переменной ПРИМЕР. Разложить функцию  в окрестности точки   по формуле Тейлора при .

Дифференцирование неявно заданной функции Найти частные производные функции , заданной неявно уравнением  в окрестности точки .


На главную