Математика примеры решения задач Поверхности второй степени Пределы и числовые ряды Двойной интеграл Метод интегрирования по частям Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования

ЗАДАНИЕ 8. Найти объем тела , ограниченного поверхностями

а) ;  б) ; в)  .

РЕШЕНИЕ.

 Изобразим тело, ограниченное двумя концентрическими сферами с центрами в начале координат и радиусами 8 и 12 и (“снизу”)  конусом ; от полученного таким образом тела плоскостями  и  “отрезается” заданное условием задачи тело (V) (рис.77) .

Рис.77

  Объем тела может быть вычислен по формуле . Рассматривая тело в декартовой системе координат, видим, что оно не является ни -, ни -, ни -цилиндрическими брусами (см. рис.72); разбиение тела на z- цилиндрические бруски является само по себе не простой задачей, не говоря уже о вычислении повторных интегралов. “Конструкция” тела  такова, что вычисление тройного интеграла удобнее провести в сферической системе координат r,,  связанной с декартовой системой координат формулами:

.

Якобиан такого преобразования . Для объема получим:

.

Чтобы тройной интеграл записать в виде повторного, перейдем в уравнениях ограничивающих тело поверхностей к сферическим координатам. Следует использовать соотношения

.

Уравнение   переходит в , уравнение   в ; для уравнения конуса  получим последовательно: ,   и , откуда  и ; уравнение плоскости  переходит в уравнение , уравнение плоскости  в , т.е. в . Таким образом,

.

  Так как подынтегральная функция представляет собой произведение функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, а пределы интегрирования постоянны, то повторный интеграл представляет собой просто произведение трех интегралов

==;

.

Для объема тела получим

.

Ответ. .

ЗАДАНИЕ 9. Найти массу пластинки

(): ,

Плотность массы пластинки 

РЕШЕНИЕ.

 Область () – это часть эллиптического кольца (на рис.78 область () заштрихована). Массу плоской области можно вычислить по формуле

.

Подставляя заданную плотность  в двойной интеграл, для массы получим

.

Рис.78

  Очевидно, что область () не является ни -, ни - трапецией; при вычислении двойного интеграла в декартовой системе координат область () пришлось бы разбить на три области. Как для областей, заключенных между концентрическими окружностями с центром в начале координат “родной” является полярная система координат, так и для эллиптических колец “своей “ является эллиптическая система координат (обобщенная полярная система координат)

.

Выбор   обусловлен соображениями удобства при вычислении интегралов. Положим для заданной области :

.

Якобиан преобразования вычисляется по формуле .

Совершим преобразование области  (): уравнение эллипса  перейдет в , т.е.   эллипс преобразуется в

окружность радиуса 1; эллипс  переходит в окружность ; прямая   в луч , прямая   в луч  (действительно,  и ). Запишем двойной интеграл в обобщенной полярной системе координат:

.

В данном случае повторный интеграл есть произведение двух определенных интегралов, так как внутренний интеграл по  есть скаляр. Вычислим их:

;

.

Таким образом, .

Ответ. Масса пластинки равна 1.

Найти массу тела , ограниченного поверхностями: ; ; ; ; плотность массы тела .

Вычислить работу силы  при перемещении единичной массы вдоль кривой линии пересечения двух поверхностей:  от точки  до точки 

Найти производную функции

Производная произведения функций Найти производную функции


На главную