Математика примеры решения задач Поверхности второй степени Пределы и числовые ряды Двойной интеграл Метод интегрирования по частям Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования

ЗАДАНИЕ 26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график:

а) y = ;  б) y = (x 1); в) y =.

ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. План полного исследования поведения функции может быть, например, таким:

Область определения.

Чётность , нечётность, периодичность.

Непрерывность. Поведение в окрестности точек разрыва и у границ области определения. Вертикальные асимптоты.

Асимптотическое поведение при x®¥. Наклонные или горизонтальные асимптоты.

Интервалы монотонности, экстремумы.

Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика.

Точки пересечения с осями координат.


РЕШЕНИЯ.

а) y = . Область определения: x¥ ,+¥). Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. Функция непрерывна. При x®¥ ~= x, что говорит о наличии асимптот. Но при x®¥ все линейные функции y=kx+b с одинаковым k эквивалентны, поэтому для нахождения асимптот этого рассуждения не достаточно. Проведём вычисления по известным формулам:

k ==(/x) = 1;

b =(f(x)  kx)= ( x) = ( x) =

= .

Применим теперь эквивалентность (1+t)1 ~ t при t® 0. В нашем случае =, t = . Поэтому b = = 4.

Асимптота при x®+¥ найдена: y = x+4.

Анализ проведённых вычислений показывает, что прямая y = x+4 является асимптотой и при x®¥.

 Для ответа на вопросы пункта 5) необходимо изучение знаков первой производной, находим её:

y¢ = (x1/3 x+6)2/3)¢ =  x 2/3 x+6)2/3 + x1/3 x+6)1/3 = .

Множитель  знака не меняет, множитель x+2 меняет знак в точке x= 2, множитель  меняет знак в точке x= 6. Применяя метод интервалов, получим три интервала знакопостоянства производной, изображённые на рис.39, там же изображёны стрелки, отражающие возрастание или убывание функции.

Для ответа на вопросы пункта 6) необходимо изучение знаков второй производной, найдём её:

y¢¢ = ( x 2/3 x+6)2/3 + x1/3 x+6)1/3)¢=  .

Перемена знака дроби происходит только в точке x = 0. Получившиеся два интервала сохранения выпуклости или вогнутости изображены на рис.39 вместе с соответствующими рисунками.

Далее предлагается сделать ещё один вспомогательный рисунок, на котором на ось x наносятся все точки, которые проявились при рассмотрении пунктов 1)  6) плана исследования. На каждом из получившихся интервалов схематично изобразим поведение функции с помощью изогнутых стрелок или отрезков кривых одновременно отражая возрастание или убывание функции и её выпуклость или вогнутость рис.40.

Переходим к построению графика. Полученные “кусочки” графика нужно “склеить”, вычислив значения функции в точках, разделяющих интервалы, или приблизить к асимптотам. Имеем: y(6) = 0, y(2) = 2, y(0) = 0. Для более точного построения желательно вычислить в этих точках и значения первой производной. В нашем случае y¢(6) не существует, так как при x® 6 слева или справа пределом для y¢ являются бесконечности разных знаков множитель x+6) содержится в знаменателе в нечётной степени);

y¢(2) = 0, из чего следует: касательная к графику в точке (2, 2) горизонтальна; y¢(0) = ¥ касательная к кривой вертикальна.

Ещё одно замечание: часто перед построением графика заполняют таблицу вместо того или в дополнение к тому, что сделано на рис.40, приведём её также (см. рис.42).

Ответ. График изображён на рис.41; ymin=2 при x=2, ymax=0 при x=6, точка перегиба графика (0,0).

 

Рис.39 Рис.40 

  Рис.41

 

x

(–¥,–6)

–6

(–6,–2)

–2

(–2,0)

0

(0,+¥)

y/

+

не $

0

+

¥

+

 

y//

+

¥

+

+

+

не $

 

y

0

2

0

 

Локальный

max

Локальный

min

перегиб

 

Рис.42

б) y = (x 1). Область определения: x¥ ,1)  (1,+¥ ). Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. Функция непрерывна всюду, кроме точки x = 1. Для выяснения поведения функции в окрестности точки разрыва вычислим односторонние пределы:

  = ¥= +¥ ;

(x 1)= 2e- ¥ = 20 = 0,

(x 1)= 2e+ ¥ = 2+) = ¥.

Делаем вывод о наличии односторонней вертикальной асимптоты x = 1. Переходим к изучению поведения функции при x®¥.

(x 1) = ¥e0 = ¥ ¥.

Ищем наклонные асимптоты:

k = =  = ×= 1e0 = 1;

предел при x®¥ такой же.

b =(f(x)  kx) = ((x 1) x) = (x ( 1)  ) =

=(x) = 11=0,

такой же предел получается и при x®¥. Следовательно, прямая y = x является асимптотой как при x ® +¥, так и при x®¥.

 Вычисляем y¢(x):

y¢ = + (x1)() =(1) =,

видим, что y¢(x) всегда положительна, следовательно, функция возрастает на каждом из интервалов ¥ ,1) и (1,+¥ ), составляющих область определения.

  Вычисляем y¢¢(x):

y¢¢(x) = ((1))¢ =  ;

знак второй производной меняется только в точке x =  .

  Делаем вспомогательные рисунки (рис.43), вычисляем значение

y(5/3) = 8/(3e) и строим график. Ответ: график изображён на рис.44; экстремумов нет, точка перегиба графика (5/3, 8/(3e)).

Рис.43  Рис.44

в) y =. Область определения: x(0, 1)  (1,+¥ ). Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. В точках области определения функция непрерывна. Исследуем поведение функции у границы области определения: ==0. Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва:  = +¥, так как функция ln x при x >1 положительна;  = ¥. Вывод: прямая x = 1  вертикальная асимптота. Переходим к изучению поведения функции при x® +¥== 0; отсюда следует, что функция имеет горизонтальную асимптоту y = 0.

 Вычислим производные: y¢ = , она всегда отрицательна;

 y¢¢(x) =. Знак второй производной меняется при перемене знака множителя (2 + ln x), что происходит в точке x = e 2, и при перемене знака множителя ln3 x, что происходит в точке x = 1. Делаем вспомогательные рисункирис.45, вычисляем значение y(e 2) = 1/2 и строим график.

Ответ. График изображён на рис.46; экстремумов нет, точка перегиба графика (e 2, 1/2).

Рис.45  Рис.46

Рис.72

Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить в этой точке y¢¢xx:

С помощью дифференциала функции вычислить приближённо  при x = 7,76.

Найти многочлен, приближающий заданную функцию f(x) в окрестности точки x0 с точностью до о((x  x0)3): f(x)=sin(ex  1), x0 = ln .

Изменить порядок интегрирования в интеграле .


На главную