Математика примеры решения задач Поверхности второй степени Пределы и числовые ряды Двойной интеграл Метод интегрирования по частям Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования

Введение в математический анализ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

ЗАДАНИЯ 6 - 11. Вычислить пределы:

6) ; 7); 8);

9) ; 10) ; 11) .

РЕШЕНИЯ.

6) . В числителе – разность бесконечно больших функций, не эквивалентных между собой при x ® +¥:  

При этом – x = o(x3/2), следовательно, выделяя главную часть, получим:

В знаменателе – разность бесконечно больших функций, имеющих один порядок при x ® +¥. Поэтому 

Вычисляем предел:  =  =

Ответ.  = – ¥.

7). Имеет место неопределенность (¥ ¥). После приведения к общему знаменателю получим отношение двух многочленов: = =

=. Неопределенность не исчезла, но она стала другой, теперь это (0/0). Делаем вывод: x = 1  общий корень многочленов в числителе и знаменателе. Выделяем в числителе множитель (x1) и сокращаем дробь:

==1/2.

Ответ. =1/2.

8) . Имеет место неопределенность (0/0). Рассматривая числитель как разность ab, умножим его но a2+ab+b2, чтобы получить разность кубов a3b3, тогда нуль в числителе будет получаться при подстановке x=2 не в иррациональном выражении, а в многочлене и множитель (x2) можно будет выделить.

==

áвторой множитель в знаменателе заменяем его предельным значением и затем выносим за знак пределаñ

= = = сокращаем на, убирая неопределенность =  = 0.

Ответ. = 0.

9) . Имеет место неопределенность (0/0). Наличие тригонометрических функций говорит о возможном использовании первого замечательного предела =1 и следующей из него эквивалентности sin x ~ x при x0. Чтобы было легче увидеть, есть ли такая возможность, введем новую переменную y=(x/3), стремящуюся к нулю:

 =  = =

  siny ~ y==

= sin(y/2) ~ y/2

== = 1/

применена формула косинуса суммы и использована возможность заменить при вычислении предела множитель на ему эквивалентный.

Ответ. = 1/.

10) . Имеет место неопределенность (). В такой ситуации попробуем использовать второй замечательный предел (1+1/n)n=e. Обычно удобнее другая его форма: (1+y)1/y = e. Преобразуем выражение в скобках к виду 1+y:  =  = 1 .

При n  новая переменная y=  0. Итак,

  (1+y)1/y = = e.

Вернемся к пределу, заданному в условии. ==

используется теорема о пределе показательно-степенной последовательности: =при существовании an и bn конечных или бесконечных кроме случаев (), (00), (0). Предел в показателе вычисляем, используя эквивалентности 3n2+3n~ 3n2 и n2+5~ n2. Получаем: = e 3.

Приведем другое решение этой задачи, в котором исследование неопределенности () сводится к исследованию неопределенности ().

===

= = используя непрерывность показательной функции, поменяем местами знак функции и знак предела = = используем эквивалентность ln(1+y) ~ y при y0 , y=  =

=== e3.

Ответ. = e 3.

11). Имеет место неопределенность (0/0), так как 2x = 0, 3x = 0, arctg y = 0 и ln(1+y)=0. Применяя эквивалентности arctg y ~ y и ln(1+y) ~ y при y0, получим:  = 2x/3x = =(2/3)x = +¥, так как показательная функция с основанием, меньшим единицы, неограниченно возрастает при x.

Ответ.  = +.

ЗАДАНИЯ 12 - 13. Исследовать функции на непрерывность и построить эскизы графиков:

12) y =;  13) y=

РЕШЕНИЯ.

12) y =. Область определения – все действительные числа, кроме x=3. Точки разрыва x=3, в остальных точках функция непрерывна, так как она является элементарной напоминаем: элементарные функции непрерывны во всех точках своей области определения. Чтобы определить типы разрывов, понадобится вычислить односторонние пределы y; y; y; y. Через непрерывные составляющие сложной функции знаки пределов можно пронести: y = и т.д. Ясно, что все пределы 1/(x29); 1/(x29); 1/(x29);  1/(x29) бесконечны. Со знаками бесконечностей разберемся с помощью метода интервалов рис.31

Рис.31. Знаки дроби 1/(x29)

Отсюда 1/(x29)= +¥; 1/(x29)= ¥; 1/(x29)= ¥;

  1/(x29)= +¥. Вычислим теперь пределы функции y: y=; y=; y=y=

под значком  понимаем предел 8x = +¥, аналогично  =8x = 0. Можно переходить к построению эскиза графика, поведение функции в окрестностях точек разрыва выяснено. В обеих точках – разрывы первого рода, а именно: скачки, так как односторонние пределы конечны, но не совпадают. Рисунок сделать легче, если дополнительно посмотреть на поведение функции при x. Вычислим

y == 1/2;  y== 1/2.

Ответ. В точках x=3 функция имеет разрывы первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рис.32.

13) y=.  Область определения: x¥, ¥).

Ось x разбивается на три интервала, на каждом из которых функция y(x) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точками разрыва могут быть только точки, разделяющие интервалы. Вычисляем односторонние пределы. Вспомним, что log1/2 t стремится к ¥ , если t стремится к нулю.

y =log 1/2 (x1)=+¥y =(x1)= 2,

y = (x1)=0, y = log 1/2 x= 0.

Делаем выводы: в точке x= 1 функция имеет разрыв второго рода, так как левый односторонний предел бесконечен; в точке x= 1 функция непрерывна, так как, во-первых, левый и правый односторонние пределы конечны и одинаковы и, во-вторых, они равны заданному в условии значению функции при x= 1.

Ответ. В точке x = 1 функция имеет разрыв второго рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рис.33.

 Рис.32  Рис.33

ПРИМЕР . Решить СОЛДУ  . Решение. Для матрицы  собственные значения – корни характеристического уравнения

Найти область определения функции y=arcsin;

Построить графики функций График функции, заданной параметрически, должен быть построен в декартовой системе координат (x, y) на плоскости. Изображаются точки с координатами  x(t), y(t). Методы построения: 1) использование свойств функций x(t) и y(t) и вычисление их значений при некоторых значениях параметра t; 2) исключение параметра t с целью получения зависимости вида x = x(y) или y = y(x)

Найти производную показательно-степенной функции y=.


На главную