Математика примеры решения задач Поверхности второй степени Пределы и числовые ряды Двойной интеграл Метод интегрирования по частям Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования

ПРИМЕР. Найти повторные пределы функции  при . Существует ли предел этой функции по совокупности переменных?

Решение. Повторные пределы ,  существуют и равны, но предел функции по совокупности переменных не существует, так как при приближении к , например по прямым , предел функции имеет различные значения .

ПРИМЕР 5. Показать, что для  при  существует предел по совокупности переменных, но не существуют повторные пределы.

Решение. Для  и  имеем

.

При  и  . Повторный предел

  не существует,

т.к. не существует предел функции  при .

Аналогично: другой повторный предел не существует.

Многие теоремы о пределах, рассмотренные подробно для функции одной переменной (сокр. ФОП), могут быть перефразированы и доказаны для ФНП. Это прежде всего теорема об единственности предела (конечного), теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел при , теорема "об арифметике" функций, имеющих конечные пределы при  и т.д. Приемы вычисления предела ФОП также могут быть использованы для ФНП.

ПРИМЕР 6. Вычислить .

Решение. Преобразуем выражение

, получаем .

ПРИМЕР 7. Вычислить .

Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом , а также вычислим

.

Окончательно получим по теореме "о произведении пределов"

.

ФНП  – непрерывна в точке , если она определена в некоторой окрестности точки  и  или , где , .

Следует различать непрерывность ФНП по совокупности переменных и непрерывность по отдельной координате.

Функция нескольких переменных ПРИМЕР . Выразить объем  цилиндра, радиус которого , высота , через эти переменные. Указать область определения функции.

Понятие предела функции многих переменных (сокр. ФНП) вводится в предельной точке области определения функции. ПРИМЕР. Доказать по определению .

Показать, что функция  непрерывна в точке  по каждой координате   и , но не является непрерывной в точке  по совокупности переменных.

Найти частные производные первого порядка функции  в точке .


На главную