Математика примеры решения задач Поверхности второй степени Пределы и числовые ряды Двойной интеграл Метод интегрирования по частям Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования

НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ СДУ СВЕДЕНИЕ СДУ К ОДНОМУ ДУ

Запишем СДУ  в координатной форме

.

Предположим, что все функции  имеют непрерывные производные по всем аргументам в .

Рассмотрим схему исключения неизвестных функций и сведение СДУ к одному ДУ относительно, например, неизвестной функции . Предположим, что СДУ имеет решение  и  на , т.е. каждое из уравнений СДУ – тождество на  и его можно дифференцировать.

Дифференцируя в силу уравнений СДУ тождество  по , т.е. используя другие равенства СДУ, получим

.

Обозначим полученную в правой части функцию через  и запишем

.

Дифференцируя тождество, соответствующее этому дифференциальному уравнению, в силу уравнений СДУ получим

.

Продолжая этот процесс, сможем выразить

.

В результате приходим к системе

  (7)

Если из первых  уравнений этой системы сможем выразить функции  через , то, подставив их значения в последнее уравнение, получим ДУ ""-го порядка относительно неизвестной функции .

Достаточное условие разрешимости системы (7) относительно  формулируется через необращение в ноль в области  якобиана

.

ПРИМЕР 4. Свести СДУ  к одному ДУ. Решить ДУ. Записать СДУ и решение СДУ в векторной и векторно-матричной формах.

Решение. Обозначим . Тогда СДУ запишется в векторно-матричной форме , где  – матрица коэффициентов.

Правые части уравнений СДУ являются линейными функциями относительно , поэтому непрерывны и дифференцируемы всюду.

Дифференцируем по  последовательно первое уравнение в силу уравнений СДУ и получаем

;

 

или систему

Из первых двух уравнений находим значения  и , их подставляем в третье уравнение

.

Получаем однородное линейное дифференциальное уравнение (ОЛДУ) третьего порядка . Его характеристическое уравнение  имеет действительные корни . Поэтому общее решение этого ДУ запишется , здесь  – произвольные постоянные. Вычислив теперь  и , найдем

  ,

аналогично .

Итак, общее решение СДУ запишется в виде

или в векторной форме  или

, где  – векторно-матричная форма записи ответа.

Здесь , где   – фундаментальная матрица исходной СДУ.

Заметим, что не всякую СДУ можно свести к одному ДУ.
Например, для СДУ   или  не удается
исключить переменную; очевидно, .

МЕТОД ИНТЕГРИРУЕМЫХ КОМБИНАЦИЙ

Иногда при решении СДУ  удается преобразовать уравнения СДУ к ДУ относительно некоторой комбинации искомых функций, которое легко интегрируется. В результате находим соотношение вида , связывающее искомые функции  и аргумент  (это соотношение называют первым интегралом СДУ). Очевидно, что если найти  первых интегралов , и они окажутся линейно независимыми относительно  (якобиан ), то СДУ решена, и ее ответ записывается либо в виде общего интеграла – совокупности  линейно независимых первых интегралов, либо в виде общего решения (после того, как  уравнений , разрешены относительно ).

ПРИМЕР 5. Решить СДУ

Решение. СДУ состоит из двух нелинейных ДУ. Ее можно свести к одному ДУ , но его решение достаточно сложное. В то время, как интегрируемые комбинации очевидны; складываем оба уравнения системы и получаем ДУ  относительно комбинации функций . Решаем ДУ разделением переменных , после интегрирования имеем  или  – первый интеграл СДУ.

Вычитая уравнения, получим ДУ  или  – также первый интеграл СДУ. Обозначим через  и  и составим якобиан

 

в при  (при  СДУ сводится к ДУ ).

Заметим, что не всякое соотношение, связывающее неизвестные функции, аргумент и постоянную, является первым интегралом решаемой СДУ.

Первым интегралом СДУ ,  
называется такое соотношение вида , которое обращается в тождество при подстановке всякого решения СДУ, при этом сама функция  не тождественна постоянной.

ПРИМЕР 6.  – СДУ второго порядка сводится к ДУ ,
откуда   и из первого уравнения , т.е.  – общее решение СДУ.

Рассмотрим функцию , для нее при  и  имеем

 – const, т.е. на каждом решении СДУ –const и поэтому   – первый интеграл рассматриваемой СДУ. Получить это соотношение можно было сведением СДУ к ДУ  и последующим интегрированием.

Если сложить уравнения СДУ , то выявляется
интегрируемая комбинация , или , или . Покажем, что здесь тоже первый интеграл СДУ.
Для этого рассмотрим значение функции  на
решениях СДУ. При   и  имеем

  – const.

Естественно, что если решения СДУ уже известны, то находить ее первые интегралы может быть и нецелесообразно. В процессе решения СДУ знание каждого первого интеграла помогает понизить порядок СДУ на единицу, а знание точно   независимых первых интегралов СДУ позволяет считать СДУ решенной, ее решения записаны в неявной форме.

Полезна следующая теорема:

соотношение ,  – const, является первым интегралом СДУ  тогда и только тогда, когда производная по  функции  в силу уравнений СДУ тождественно равна нулю
на .

Для примера 6 имеем

;

  ,

причем якобиан , поэтому общий интеграл СДУ ПРИМЕРА 6 запишется в виде  
Если разрешить относительно  и   эту систему и преобразовать, то можем получить общее решение в ранее найденной форме.

9.3.3. СИММЕТРИЧНАЯ ФОРМА ЗАПИСИ СДУ

СДУ в нормальной форме  может быть представлена в виде , симметричном относительно переменных. Так, например, симметричная форма записи СДУ

используется для описания векторных линий  векторного
поля   – вектор-функции точки пространства переменных , , .

Решение СДУ в симметричной форме иногда может быть проведено методом интегрируемых комбинаций на основе свойств равных отношений: если , то для любых чисел (не равных нулю одновременно)  имеет место соотношение

.

ПРИМЕР 7. Решить СДУ .

Решение. Здесь записана в симметричной форме автономная СДУ третьего порядка   Переменные , ,  в записи равноценны (симметричны) в том смысле, что для нахождения первых интегралов исходной СДУ придется решать два дифференциальных уравнения относительно , ,  и при этом безразлично, какую переменную из них удобней взять в качестве аргумента.

Используя свойство равных отношений, можно записать

, то возможно лишь при , т.е.  – найден первый интеграл СДУ. Понизим порядок СДУ, полагая ,  или  – ДУ первого порядка. Проведем замену переменной  и соответственно , получим  или . Отсюда  – еще один первый интеграл СДУ.
Линейная независимость первых интегралов проверяется

в области существования уравнений системы.

Найти ФСР ОЛДУ . Записать общее решение. По НУ:   выделить частное решение.

ПРИМЕР. Решить  Решение. Чтобы найти частное решение, нужно найти  и реализовать НУ.

Геометрическая интерпритация СДУ в нормальной форме и ее решение ПРИМЕР .  – СДУ в нормальной форме второго порядка в пространстве переменных  задает поле направлений . Легко проверить, что вектор функция  является решением системы на . Ему соответствует интегральная кривая ,  в  – годограф , .

 

Системы линейных ДУ Рассмотренные в п. 3 приемы решения СДУ применимы к системам как линейных, так и нелинейных ДУ, но все они эффективны лишь для систем невысокого порядка (). Для СДУ большего порядка построена теория систем линейных дифференциальных уравнений (сокр. СЛДУ), причем теория СЛДУ во многом аналогична теории линейных ДУ.


На главную