Математика примеры решения задач Поверхности второй степени Пределы и числовые ряды Двойной интеграл Метод интегрирования по частям Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования

Типовые задачи

Вычисление криволинейных интегралов 1 рода

ПРИМЕР 1. Вычислить интеграл , если  , , .

Решение. Сводим криволинейный интеграл к определенному с
использованием уравнения дуги ( – параметр, ).

.

ПРИМЕР 2. Вычислить , где дуга  есть отрезок , , . [an error occurred while processing this directive]

Решение. Зададим  в параметрической форме, для этого найдем уравнение прямой  , откуда  . Поэтому имеем

.

Длина дуги

а) Длина дуги в декартовых координатах

ПРИМЕР 3. Вычислить длину одного витка винтовой линии , , .

Решение. Винтовая линия – траектория точки, "поднимающейся" по круговому цилиндру со скоростью . Длину одного витка  найдем, если вычислим

.

б) Длина плоской дуги в полярных координатах

Пусть ,  – дуга на плоскости  ().
Выведем формулу для вычисления ее длины.

Поскольку  параметр , то

. Поэтому

.

ПРИМЕР 4. Вычислить длину кардиоиды

.

Решение. Используя симметрию кривой, получим

.

Механические приложения ПРИМЕР. Вычислить массу дуги   при   – линейной плотности распределения массы по дуге .

Зададим область  примера 1, проектируя ее на ось ,  Вычислить повторный интеграл .

Вычисление двойных интегралов ПРИМЕР. Вычислить двойной интеграл , где область   ограничена эллипсом .

Линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) называется уравнение вида Показать, что система степенных функций  – линейно независимая на   система функций.


На главную