Математика примеры решения задач Поверхности второй степени Пределы и числовые ряды Двойной интеграл Метод интегрирования по частям Неопределенный интеграл Основные методы интегрирования

Локальный экстремум ФНП

Различают несколько постановок задачи на нахождение экстремума ФНП

  (*)

в зависимости от вида множества  – множества допустимых аргументов . При этом под символом  можно понимать максимум () или минимум (), но чаще решается задача минимизации ФНП, поскольку .

Если  – область определения ФНП, то задача (*) называется задачей нахождения  ФНП без ограничений (задачей безусловного экстремума).

Пусть ФНП  задана на области ,  – внутренняя точка этой области. Тогда ФНП  имеет в точке  локальный безусловный , если существует окрестность , для всех
точек   которой приращение функции  сохраняет знак, причем  при ,  при .

Необходимые условия существования локального экстремума ФНП: если в точке  ФНП  имеет локальный экстремум, то в этой точке ее частные производные либо равны нулю, либо не существуют.

Для дифференцируемой в точке экстремума функции  все частные производные , , т.е. при  . Итак, точки локального экстремума ФНП  находятся либо среди точек, в которых функция не дифференцируемая, либо среди тех, в которых дифференциал первого порядка обращается в ноль.

Достаточные условия существования локального экстремума: для дважды непрерывно дифференцируемой ФНП , если  и если  является положительно определенной (соответственно отрицательно-определенной) квадратичной формой относительно приращений независимых переменных, то в точке  функция  имеет локальный минимум (соответственно максимум).

Действительно, поскольку имеем

,

где , то интуитивно ясно, что в достаточно малой окрестности точки  – "подозрительной" точки на   – получаем

.

Для установления знакоопределенности квадратичной формы  применяется критерий Сильвестра

Пусть матрица  имеет главные миноры

.

Для положительной определенности квадратичной формы  необходимо и достаточно, чтобы все ее главные миноры были положительны, т.е.  .

Для отрицательной определенности квадратичной формы  необходимо и достаточно, чтобы знаки значений главных
миноров чередовались, начинаясь с отрицательного, т.е.

.

ПРИМЕР. Исследовать на локальный экстремум

.

Решение. Применяя необходимые условия (сокращенно НУ), находим точки, "подозрительные" на экстремум:

НУ:   и .

Для применения достаточных условий (сокращенно ДУ) составляем  и рассматриваем его определенность в каждой
"подозрительной" на экстремум точке; имеем

 –

квадратичную форму относительно  и .

ДУ: ; матрица коэффициентов этой квадратичной формы имеет вид ; для нее , . Критерий Сильвестра не выполняется. Нужны дополнительные
исследования, их можно провести, например, следующим образом.

Пусть  – произвольная -окрестность () точки . Поскольку , то найдутся точки, принадлежащие этой окрестности, в которых  имеет значения различных знаков, например, в точке  , а в точке  имеем .

Итак, во всякой -окрестности точки  приращение функции не сохраняет знак. Это означает, что точка  не является точкой экстремума для рассматриваемой функции.

В точке   матрица коэффициентов квадратичной формы  имеет вид , для нее , . Согласно критерию Сильвестра  – положительно определенная квадратичная форма; по ДУ в точке  функция имеет локальный (безусловный) минимум, причем .

ЗАДАНИЕ для САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. .

2. Исследовать на локальный безусловный экстремум функцию , заданную неявно уравнением:

а) ; б) .

Ответы. 1. ; в точках , ,  требуются дополнительные исследования.

2. а) , , здесь
НУ: , значение  находим из самого

уравнения , т.е. , . Для применения достаточных условий существования экстремума следует найти дифференциал второго порядка функции  в каждой из точек  и ;

б) ,  – отрицательно определенная квадратичная форма относительно  и .

Абсолютный экстремум ФНП Задача абсолютного экстремума для ФНП формулируется аналогично этой задаче для функции одной переменной

Интегрирование функций нескольких переменных

Некоторые свойства интеграла ФНП Возможное геометрическое представление интегральной суммы  функции  на , а затем и интеграла  определяют геометрические свойства интеграла и перечень некоторых возможных задач, решаемых с помощью интеграла.

Некоторые механические приложения интеграла ФНП Масса фигуры (отрезка, дуги, плоской фигуры, части криволинейной поверхности, тела)


На главную